Основные ее идеи, легли в основу современной общей алгебры и тем самым оказали стимулирующее влияние на развитие всей математики. В последнее время наблюдается и обратный процесс: конструкции и методы современной абстрактной математики интенсивно вторгаются в прежде запретную для них область теории чисел, быстро меняющей поэтому свое лицо.

История теоремы Ферма

В XVII веке жил один из величайших математиков Пьер Ферма (1608-1665). Он заложил основы аналитической геометрии (одновременно то же сделал Декарт) и нашел общий метод разыскания максимумов и минимумов (впоследствии развившийся в исчисление бесконечно малых). Однако более всего известны результаты Ферма в области теории чисел.
Свои теоретико-числовые результаты Ферма не публиковал. Они известны из его писем, а также из бумаг, оставшихся после его смерти. Как правило, доказательства Ферма до нас не дошли. Эти доказательства были восстановлены последующими математиками, в основном Эйлером.
Некоторые свои утверждения Ферма сопровождал пометкой, что он не располагает удовлетворительным их доказательством. Впоследствии выяснилось, что часть этих утверждений была ошибочна.
...Однако во всех случаях, когда Ферма определенно утверждал, что он доказал то или иное утверждение, впоследствии удавалось это утверждение доказать.
Замечательным исключением является так называемая "Большая теорема Ферма" (она же "Великая" или "Последняя"), утверждающая, что не существует отличных от нуля целых чисел х, у и г, для которых имеет место равенство

наверх

где n > 2. (Общеизвестно, что при n = 2 такие числа существуют, например, 3, 4, 5.)

В бумагах Ферма было найдено доказательство этой теоремы при п = 4 (любопытно, что это единственное полное доказательство теоретико-числового результата, сохранившееся от Ферма). Относительно же общего случая любого п > 2 Ферма лишь написал (на полях "Арифметики" Диофанта), что он нашел "поистине замечательное доказательство" этого факта, но "поля слишком малы, чтобы его уместить".
Несмотря на усилия многих математиков (в "Истории теории чисел" Диксона прореферировано более трехсот (!) работ на эту тему), это доказательство найдено не было, и можно сомневаться, существовало ли оно вообще.
Более того... кроме показателя 4, нет ни одного показателя n, для которого теорему Ферма удалось бы доказать элементарными средствами.
Этим объясняется, почему в настоящее время все специалисты твердо уверены в невозможности доказать теорему Ферма элементарными методами.
В 1908 г. немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Немедленно сотни и тысячи людей, движимых одним лишь стремлением к наживе, стали бомбардировать научные общества и журналы своими рукописями, якобы содержащими доказательство теоремы Ферма. Только в Гёттингенское математическое общество за первые три года после объявления завещания Вольфскеля пришло более тысячи (!) решений.
Рассказывают, что то ли в Гёттинген, то ли в нашу Академию наук однажды поступила следующая телеграмма: "Решил проблему Ферма двт икс степени эн плюс игрек степени эн не равно зет степени эн тчк доказательство двт переносим игрек степени эн правую часть тчк подробности письмом тчк". Неизвестно, так это или не так, но эта история хорошо отражает как ажиотаж, возникший вокруг теоремы Ферма, так и уровень предлагаемых "доказательств".
...
Значение теоремы Ферма для математики в том, что при попытках ее доказательства были, как мы увидим, выкованы новые мощные средства, приведшие к созданию обширного отдела математики - так называемой "теории алгебраических чисел". Тот факт, что до сих пор теорема Ферма не доказана, по-видимому, означает необходимость в еще более мощных и утонченных методах...